Cấu trúc cơ bản
Phương trình vi phân tuyến tính bậc hai liên hệ một hàm số chưa biết $y(x)$ với đạo hàm bậc nhất và bậc hai của nó. Thuật ngữ "tuyến tính" cho thấy mỗi lần xuất hiện của $y$, $y'$ và $y''$ chỉ ở bậc một.
Trong đó $P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$ và $G(x)$ là các hàm liên tục trên một khoảng xác định.
Phân loại phương trình
- Phương trình thuần nhất: Nếu $G(x) = 0$ với mọi $x$ trong khoảng, phương trình được gọi là thuần nhất. Những phương trình này mô hình hóa các hệ thống trong dao động tự do hoặc trạng thái cân bằng.
Công thức cốt lõi: $P(x)\frac{d^2y}{dx^2} + Q(x)\frac{dy}{dx} + R(x)y = 0$
- Phương trình phi thuần nhất: Nếu $G(x) \neq 0$, phương trình là phi thuần nhất. Hàm số $G(x)$ biểu diễn một hàm gây lực bên ngoài (ví dụ như va phải hố ga).
Nguyên lý chồng chất
Một trong những công cụ mạnh mẽ nhất trong lý thuyết tuyến tính là khả năng xây dựng các nghiệm phức tạp từ những nghiệm đơn giản hơn.
Nếu $y_1(x)$ và $y_2(x)$ đều là nghiệm của phương trình thuần nhất tuyến tính và $c_1, c_2$ là bất kỳ hằng số nào, thì tổ hợp tuyến tính:
$y(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)$
cũng là một nghiệm.
Tìm nghiệm tổng quát
Để bao quát mọi nghiệm có thể xảy ra của một phương trình thuần nhất, chúng ta phải đảm bảo hai nghiệm cơ sở của mình là độc lập tuyến tính. Điều này có nghĩa là cả hai không phải là bội số hằng số của nhau (ví dụ: $e^x$ và $e^{2x}$ là độc lập, trong khi $e^x$ và $2e^x$ thì không).